Les médiatrices, médianes, hauteurs d'un triangle
I Les médiatrices:
1°) Définition: (rappel)
Définition: "La médiatrice d'un segment est la perpendiculaire à ce segment en son milieu".
2°) Propriétés:
a) médiatrices d'un segment
|
d est la médiatrice de [AB]. Par symétrie, on constate donc que: |
|
Théorème direct: "Tout point de la médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités de ce segment". (rappel)
Théorème réciproque: "Si un point est équidistant des extrémités d'un segment, alors il est sur la médiatrice de ce segment".
Rappel: ceci nous amène à une construction de la médiatrice au compas...
b) Médiatrices d'un triangle
Si les médiatrices de [AB] et de [BC]
se coupent en O, d'après le théorème précédent, on a : OA=OB et OB=OC
En
conséquence, OA =OC, donc O est aussi sur la médiatrice de [AC]...
Théorème: "Les trois médiatrices d'un triangle se coupent en un même point, centre du cercle circonscrit à ce triangle"
II Les hauteurs:
1°) Définition:
"On appelle hauteur dans un triangle une droite passant par un sommet et étant perpendiculaire au côté opposé"
Remarque: si le triangle comporte un angle obtus, la hauteur "sort" du triangle...
2°) Propriétés:
"Les trois hauteurs d'un triangle se coupent en un même point appelé orthocentre du triangle"
III Les médianes:
1°) Définition:
"On appelle médiane d'un triangle, une droite passant un sommet et le milieu du côté opposé"
2°) Propriétés:
"Les trois médianes d'un triangle se coupent en un même
point appelé centre de gravité du triangle.
Il est situé au deux tiers de chaque médiane en partant du sommet."
IV Exercices:
© J-P Diérick, professeur certifié de Mathématiques, collège du Triolo.
