Inégalités
1°) Notations et définitions
Symbole |
a < b |
a > b |
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Signification | a est strictement inférieur à b | a est strictement supérieur à b | a est inférieur ou égal à b | a est supérieur ou égal à b |
2°) Troncature et arrondi
Exemple 1: considérons le nombre 3,42, il peut être encadré par: 3,4 < 3,42 < 3,5
Exemple 2: considérons le nombre 7,68, il peut être encadré par: 7,6 < 7,68 < 7,7
3°) Signe d'une différence
4°) Ordre et opérations
a) additions et soustractions
exemples: 15 < 20 15 + 4 < 20 +4
36 < 42 36 - 8 < 42 - 8
a, b , c désignent des nombres relatifs quelconques
application: soit le nombre x tel que x + 13 < 18
on en déduit: x + 13 - 13 < 18 - 13 donc x < 5 ( on a résolu une inéquation !)
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b) ordre et multiplication
exemples: 7 < 9 7× 2 = 14 ; 9 × 2 = 18 ; on a bien 14<18 donc 7 × 2 < 9 ×2
3 < 5 3 × (-2) = -6 5 × (-2) = -10 on a -10 < -6 donc 5 × (-2) < 3 × (-2) : l'inégalité s'inverse si on la multiplie par un nombre négatif
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Exemple 1 : On sait que 7 < x < 8 ; donner un encadrement de 3x + 5.
en multipliant par 3 : 21 < 3x < 24 puis en ajoutant 5 : 26 < 3x + 5 < 29
Exemple 2 : On sait que 8,2 < x < 8,3 ; donner un encadrement de -5x +2
en multipliant par -5: -41,5 < -5x < 41 puis en ajoutant 2 : - 39,5 < -5x + 2 < - 39
Exemple 3 : résoudre 7x + 5 < 4 x + 11
On résout une inéquation de la même façon qu’une équation, c’est à dire en faisant passer les inconnues dans un même membre et les nombres « sans x » dans l’autre membre.
L’inéquation devient : 7x – 4x < 11 – 5
Soit : 3x < 6 ; d’où x < 6 : 3 donc les solutions sont : x < 2 , c’est à dire tous les nombres inférieurs à 2.
Exemple 4 : résoudre 5x + 3 < 7x + 9
On transpose : 5x – 7x < 9 – 3 ; ce qui donne : -2x < 6 ATTENTION !!! EN DIVISANT PAR (–2) , L’INEGALITE VA CHANGER DE SENS !!!
D’où x > 6 : (-2) donc x > 3
3°) Exercices:
a) Résoudre: 5x + 2 < 2x + 14 ; réponse: x <
b ) Résoudre: 6x - 7 > x + 3 ; réponse: x >
c) Résoudre: 4 ( 2x +5) < 2 ( 3x + 7) ; réponse: x <
© J-P Diérick, professeur certifié de Mathématiques, collège du Triolo.