Inégalités

 1°) Notations et définitions

Symbole

a < b

a > b

  

 

Signification a est strictement inférieur à b a est strictement supérieur à b  a est inférieur ou égal à b  a est supérieur ou égal à b

 

2°) Troncature et arrondi

Exemple 1: considérons le nombre 3,42, il peut être encadré par:  3,4 < 3,42 < 3,5

Exemple 2: considérons le nombre 7,68, il peut être encadré par: 7,6 < 7,68 < 7,7

3°) Signe d'une différence

4°) Ordre et opérations

a) additions et soustractions

exemples:  15 < 20   15 + 4 < 20 +4

                 36 < 42   36 - 8 < 42 - 8

 a, b , c désignent des nombres relatifs quelconques

application:   soit le nombre x tel que   x + 13 < 18

                    on en déduit:  x + 13 - 13 < 18 - 13    donc x < 5  ( on a résolu une inéquation !)

  • On ne change pas le sens d'une inégalité en ajoutant ou en soustrayant un même nombre à ses deux membres.

b) ordre et multiplication

       exemples:  7 < 9   7× 2 = 14 ;  9 × 2 = 18 ; on a bien 14<18 donc 7 × 2 < 9 ×2

                        3 < 5  3 × (-2) = -6          5 × (-2) = -10  on a -10 < -6 donc 5 × (-2) < 3 × (-2) : l'inégalité s'inverse si on la multiplie par un nombre négatif

  • On ne change pas le sens d'une inégalité en multipliant ou en divisant ses deux membres par un même nombre positif non nul
  • On change le sens d'une inégalité en multipliant ou en divisant ses deux membres par un même nombre négatif non nul

 Exemple 1 : On sait que   7 < x  < 8 ; donner un encadrement de 3x + 5.         

en multipliant par 3 :      21 < 3x < 24    puis en ajoutant 5 :   26 < 3x + 5 < 29

Exemple 2 :  On sait que 8,2 < x < 8,3 ; donner un encadrement de -5x +2

en multipliant par -5:   -41,5 < -5x < 41   puis en ajoutant 2 :    - 39,5 < -5x + 2 < - 39

Exemple 3 :  résoudre    7x + 5 <  4 x + 11

On résout une inéquation de la même façon qu’une équation, c’est à dire en faisant passer les inconnues dans un même membre et les nombres « sans x » dans l’autre membre.

L’inéquation devient :  7x – 4x < 11 – 5

Soit :                              3x < 6   ; d’où  x < 6 : 3   donc les solutions sont : x < 2 , c’est à dire tous les nombres inférieurs à 2.

 

Exemple 4 : résoudre   5x + 3 < 7x + 9

On transpose :   5x – 7x < 9 – 3 ; ce qui donne :  -2x < 6   ATTENTION !!! EN DIVISANT PAR  (–2) , L’INEGALITE VA CHANGER DE SENS !!!

D’où  x > 6 : (-2)   donc  x > 3

 

 3°) Exercices:

  a) Résoudre: 5x + 2 < 2x + 14 ; réponse: x <

b ) Résoudre: 6x - 7 > x + 3  ; réponse:  x >

c) Résoudre: 4 ( 2x +5) < 2 ( 3x + 7) ; réponse: x <

 

 © J-P Diérick, professeur certifié de Mathématiques, collège du Triolo.