Théorème de Thalès
1°) Théorème direct
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d1 et d2 sont des droites
sécantes en A. Si d1 est parallèle à d2, alors:
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Application: calculs de longueurs:
On a (BC) // (B'C') et AC = 7cm; AC' = 9,8cm; AB = 6cm et B'C' = 5,6cm. Calculer BC et AB'.
D'après le théorème de Thalès:
En appliquant les "produits en croix", il vient:
7 × AB' = 6 × 9,8
; d'où AB' = 6 × 9,8 : 7 = 8,4cm.
De même: 9,8 × BC = 7 × 5,6 ; d'où
BC = 7 × 5,6 : 9,8 = 4 cm.
2°) Théorème réciproque:
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" Si A, B, B' sont des points de la droite d1 et si A, C, C' sont des points de la droits d2 dans le même ordre, et si
Exemple: Si AC = 6cm; AC' = 10,2cm; AB = 5cm et AB' = 8,5cm ; montrer que (BC) est parallèle à (B'C'). On calcule:
et
D'après le théorème réciproque de Thalès, les droites (BC) et (B'C') sont parallèles. |
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3°) Agrandissement, réduction
Si (LM) est parallèle à (JK) on dit que le triangle ILM est une réduction du triangle IJK, car:
Dans
un agrandissement ou une réduction, de rapport k, les angles sont conservés,
la perpendicularité et le parallélisme sont conservés, les longueurs sont multipliées
par k.
Les aires sont multipliées par k² et les volumes sont multipliés par
k³.
4°) Exercices
On
suppose que (LM) est parallèle à (JK)
IL = 5cm; IJ = 8cm; IM = 7cm; JK =
6,4cm.
a) Calculer IK
Réponse IK =
b) Calculer LM
Réponse LM =
c) On suppose que DF' = 3,5cm; DF = 6,3cm; DE' = 2,5cm et DE = 4,5cm .
Que
peut-on dire des droites (EF) et (E'F')?
Réponse les droites sont:
,
alors les droites (BC) et (B'C') sont parallèles."
