Calcul littéral, développer, factoriser

1°) Calcul littéral :

a)      simplifications d’écriture :

3 × a = 3a ;  a + a+ a+ a = 4a ;  a × a= a²

     b) remplacer:

Exemple 1:

Soit A = 2x + 3y   , calculer A pour x = 5 et y = -3

A = 2 × 5 + 3 × (-3) = 10 – 9 = 1

Exemple 2:

Compléter le tableau:

c)      règle du signe devant une parenthèse:

- Si une expression entre parenthèses est précédée du signe + , on peut supprimer les parenthèses :

Exemple :  7 + ( 3x –5) = 7 + 3x –5

- Si une expression entre parenthèses est précédée du signe -, on peut supprimer les parenthèses,
à condition de changer les signes de tous les termes contenus dans ces parenthèses.

Exemple 1 : 9 – ( 3x –8 + 2a  ) = 9 – 3x + 8 – 2a

Exemple2: calculez de deux façons différentes:  15 +7 - (18 - 9 + 3 )

1ère méthode:   15+7-(18-9+3) = 22 - 12 = 10
2ème méthode: 15+7-(18-9+3) = 15 + 7 - 18 + 9 -3 = 15+7+9 - 18 -3 = 31 - 21 = 10  

 2°) Développer :

 « Développer, c’est transformer un produit en somme algébrique» 

Pour développer, on utilise la distributivité.

 Exemples, développer :

A = 7 ( 2a + 5 ) = 7 × 2a + 7 × 5 = 14 a + 35

B = 9 ( a + 2b - 3 ) = 9 a + 18 b - 27

Exemple, calculer de deux façons différentes:

C = 18 ( 25 - 9  + 7 )
1ère méthode: C = 18 × 23 = 414
2ème méthode: C = 18×25 - 18×9 + 18×7 = 450 - 162 + 126 = 414

3°) Double distributivité:

Exemples, développer:

E = ( 7x + 3 ) ( 2x – 5 ) = 7x × 2x + 7x ×(-5) + 3 × 2x + 3 × (-5) = 14x² - 35x +6x -15 = 14x² - 29x -15

F = ( 4x + 5 )² = ( 4x + 5 ) ( 4 x + 5 ) = 16x²+40x+25

Exemple, calculer de deux façons différentes:

G = ( 112 - 25 ) ( 16 + 14 ) = 87 × 30 = 2610

G = ( 112 - 25 ) ( 16 + 14 ) = 112 × 16 + 112 ×14 - 25 × 16 - 25 ×14 = 1792 + 1568 - 400 - 350= 2610

4°) Factoriser:

" Factoriser, c’est transformer une somme algébrique en produit"

Pour factoriser, on cherche un  facteur commun.

Exemples, factoriser :

C = 9a + 9b + 18 = 9 ( a + b + 2)  ; le facteur commun est 9

D = 3a + 5ab + a² = a ( 3 + 5b + a) ; le facteur commun est a

E = 7a² + 14 a – 21 ab = 7a ( a + 2 -3b) ; le facteur commun est 7a

F = ( x + 5) ( x +3 ) + ( x +5 )  ( 2x + 7 ) = ( x + 5) [( x + 3) + ( 2x + 7) ]

    = ( x + 5 ) ( x + 3 + 2x + 7) = ( x + 5 ) ( 3x + 10 ) ; le facteur commun est ( x + 5 )

5°) Exercices

Exercice 1:

Réduire ( 5x - 3) - ( 2x - 7)

Exercice 2:

Développer ( 6x - 8 ) ( 3x + 5) - 2 (9x² +2)

Exercice 3:

Factoriser 6x² + 3x - 9xy

Exercice 4:

Factoriser ( 2x + 3) ( 5x - 2) - ( 2x +3 ) ( x - 3)

 Exercices supplémentaires

© J-P Diérick, professeur certifié de Mathématiques, collège du Triolo.