Factorisation, équation produit

1°) Factoriser:

“ Factoriser, c’est transformer une somme algébrique en produit »

1^ère  méthode :Pour factoriser, on cherche un  facteur commun.

Exemples, factoriser :

C = 9a + 9b + 18 = 9 ( a + b + 2)  ; le facteur commun est 9

D = 3a + 5ab + a² = a ( 3 + 5b + a) ; le facteur commun est a

E = 7a² + 14 a – 21 ab = 7a ( a + 2 -3b) ; le facteur commun est 7a

F = ( x + 5) ( x +3 ) + ( x +5 )  ( 2x + 7 ) = ( x + 5) [( x + 3) + ( 2x + 7) ]

    = ( x + 5 ) ( x + 3 + 2x + 7) = ( x + 5 ) ( 3x + 10 ) ; le facteur commun est ( x + 5 )

2ème méthode: on utilise un produit remarquable

Exemple 1 : 25x² - 49 = (5x)² - 7²   de la forme a² -b² , donc 25x² - 49 = ( 5x + 7) ( 5x – 7)

Exemple 2 : 9x² + 30x + 25 = (2x)² + 2´ 3x ´ 5 + 5²  de la forme a² +2ab +b² ;

               donc 9x²+30x+25 = ( 3x + 5)²

Factoriser :

M = 4x² - 36 =

N = 81x² - 18x + 1 =

2°) Equations du second degré

Une équation est dite du second degré lorsque que l’inconnue est à la puissance 2 dans l’équation.

a) équations « produits » :

 ( 2x – 8 ) ( x + 3) = 0 est une équation produit.

Or, un produit est nul si et seulement si un des facteurs est nul. On obtient donc deux cas et en général deux solutions…

                             ( 2x – 8) ( x + 3 ) = 0
                                
             2x – 8 = 0                                  x + 3 = 0
             2x = 8                                        x = -3
             x = 8 : 2 = 4

Les deux solutions de l’équation sont donc –3 et 4.

Exemple : résoudre  ( 5x + 35 ) ( 3x –6 ) = 0

5x +35 = 0 ;  5x = -35 ; x = -35 : 5 = -7      et 3x – 6 = 0 ; 3x = 6 ; x = 6 : 3 = 2 ; les solutions sont –7 et 2                 

b) équations générales du second degré :

- Exemple 1 :  x² + 6x + 9 = 0 est une équation du second degré (x est au carré). Pour résoudre, il faut factoriser.  On remarque que l’expression x²+6x-9 est un produit remarquable du type (a+b)².

L’équation devient :  ( x + 3)² = 0 ; les solutions sont celles de  x +3 = 0  soit x = -3

- Exemple 2 :  x² - 7x  + 30 = 5 + 3x  .   Il faut d’abord mettre tous les termes de l’équation dans un même membre égal à zéro :

x² - 7x  + 30 – 5 - 3x = 0

x² - 10x + 25 = 0               Il faut FACTORISER 

( x – 5)² = 0     soit x – 5 = 0   La solution est donc x = 5

- Exemple 3 :  ( x – 7) ( 4x + 9 ) = ( x – 7 ) ( 2x + 1 )

                ( x – 7) ( 4x + 9) – ( x – 7 ) ( 2x + 1 ) = 0

                ( x – 7) [ ( 4x + 9) – (2x + 1)] = 0

                (x – 7) [ 4x + 9 – 2x – 1 ] = 0

                ( x – 7) ( 2x + 8 ) = 0

        x – 7 = 0                  2x + 8 = 0

        x = 7                        2x = -8   soit x = -4

Les solutions de l’équations sont –4 et 7

- Exemple 4 :      ( 3x + 7)² - ( x – 5)² = 0     Il faut Factoriser ; l’expression est un produit remarquable du type a²-b²= (a+b) (a-b)         [ (3x + 7) + ( x – 5 ) ] [ ( 3x + 7) – ( x – 5 ) ] =0

                                              [ 3x + 7 + x - 5 ] [ 3x + 7 – x + 5 ] = 0   

                                                 ( 4x + 2 ) ( 2x + 12 ) = 0  

                                       4x + 2 = 0                   2x + 12 = 0

                                        4x = -2                       2x = -12

                                         x = -2 : 4 = -0,5   ;     x = -12 : 2 = -6

Les solutions sont –0,5 et –6

Exercice 1:

Résoudre: 4x² - 12x + 9 = 0

Exercice 2:

Résoudre: ( 2x + 5 )² - ( x + 1)²

Exercice 3:

Factoriser 18x² - 36xy + 9x

Exercice 4:

Factoriser 25x² - 9